Les Pensées de Pascal

« La vraie éloquence se moque de l’éloquence. La vraie morale se moque de la morale, c’est‑à‑dire que la morale du jugement se moque de la morale de l’esprit qui est sans règles.
Car le jugement est celui à qui appartient le sentiment, comme les sciences appartiennent à l’esprit. La finesse est la part du jugement, la géométrie est celle de l’esprit.
Se moquer de la philosophie c’est vraiment philosopher. »
Mélanges, (Fragment 671, Sellier)

Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie. Sçavoir, La résolution de tous les problèmes touchant la roulette, folio 98 avec les figures
Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie, folio 98 (Cote : Em 0010)

La cycloïde, appelée également roulette, est une courbe définie par la trajectoire d'un point situé sur un cercle roulant sans glisser sur un axe. Blaise Pascal s'y intéresse particulièrement et publie en 1658 son «Histoire de la roulette appelée autrement la trochoïde ou cycloïde, où l'on rapporte par quel degrés on est arrivé à la connaissance de la nature de cette ligne ».

1 vidéo sur la cycloide

Le feuillet 409 du Recueil des originaux, manuscrits, des « Pensées» porte des notes autographes en vue des controverses sur la morale et la théologie. Au verso (p. 410) on découvre le seul manuscrit mathématique qui nous reste de la main de Pascal. Celui-ci y démontre un théorème manifestement lié à ses recherches sur les solides de révolution (cône, cylindre, boule...), étudiés dans les Lettres de A. Dettonville, publiées en 1658. C’est donc la seule trace qui nous reste de la manière dont Pascal écrivait les mathématiques, avant de donner ses ouvrages à l’impression. Au XVIIe siècle, chaque géomètre a son écriture symbolique personnelle, généralement très différente de celle d’aujourd’hui. Celles de Descartes pour l’algèbre et de Leibniz pour le calcul infinitésimal ne vont s'imposer que progressivement. On remarque cependant que Pascal use déjà du symbole « ∫ », que l’on attribue généralement à Leibniz, pour parler d’une somme de lignes ou de surfaces.

Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie, page de titre
Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie (Cote : Em 0010)

Pascal met au point une méthode originale, combinaison d’arithmétique et de géométrie, pour calculer le volume, la surface ou le centre de gravité des solides de révolution engendrés par une courbe. Pour la mettre à l’épreuve, il décide de l’appliquer à la cycloïde, courbe particulière qui a suscité dans un passé récent une vive controverse entre le Français Roberval et l’Italien Torricelli. Pascal institue donc un concours public sur cette courbe, défiant tous les géomètres d’Europe de résoudre les problèmes dont il a lui-même la solution. Le jésuite Antoine de Lalouvère et l’Anglais John Wallis envoient des solutions, qui sont jugées insuffisantes ou erronées. Pascal publie alors ses Lettres  de A. Dettonville, qui regroupent ses solutions avec la résolution de quelques problèmes supplémentaires.

Les Pensées du manuscrit original de la BNF (Cote : MS 9202, folio 410)
Les Pensées du manuscrit original de la BNF (Cote : MS 9202, folio 410)

Sur la page 410 du recueil des fragments manuscrits originaux des Pensées apparaît au verso de notes relatives aux Provinciales, un texte mathématique, le seul qui nous permette de connaître la manière dont Pascal écrivait  les mathématiques. On y remarque que, contrairement à une idée répandue, Pascal disposait d’une manière personnelle de noter ses recherches en termes symboliques. En l’occurrence, il s’agit d’un théorème lié aux Lettres de A. Dettonville sur la cycloïde.

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